精典寓言

刘徽与祖冲之

极限思想在我国古代已有之，并运用于实际。刘徽(约225—295)是我国魏晋时代的著名数学家，他创造了用“割圆术”计算圆周率的方法，他从圆的内接正6边形算起，依次将边数加倍，一直算到内接正192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值，以后他又算到圆内接正3072边形的面积，从而得到 圆周率π的近似值为。外国关于圆周率π的取值到3.1416比刘徽晚200多年。
　　刘徽认为如此增加圆内接正多边形的边数：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。这里他已经有了极限思想，并用于近似计算上。
　　比刘徽晚200多年的另一位我国古代数学家祖冲之(429—500)，对圆周率π的计算达到了更加精确的程度，他把圆周率定为 π=3.14159265，这个记录保持了近一千年，直到1427年才被中亚细亚数学家阿尔卡西(Al-Kashi)更精确的推算打破。祖冲之用，称为“约率”，而用称为“密率”。这在数学史上具有重大意义，“约率”虽然早为阿基米德所得，而密率却是祖冲之首先得到的。 

微积分发展简史

微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。这个伟大的成就当然首先应该归功于牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)，但是在他们创立微积分之前，微积分问题至少被17世纪十几个大数学家和几十个小数学家探索过，得出了一些有价值的结论，且具有很大启发性。牛顿和莱布尼茨是在前人的基础上将微积分发展到了高峰。
　　17世纪遇到了哪些问题呢？主要有四类问题。第一类是速度和加速度问题。17世纪遇到的速度和加速度问题大都是变量问题，即变速与变加速。这与17世纪以前所遇到的大量常速问题所不同，如何求速度与加速度成为当时科学家们所关心的问题。第二类是切线问题。17世纪光学是一门重要的学科，例如透镜如何设计，这涉及切线与法线。切线问题在17世纪以前虽也解决过，但只限于圆锥曲线，而切线的定义是只与曲线接触一点的直线，这种情况不能适应17世纪所遇到的复杂的曲线的切线问题，另外物体运动时在它轨迹上的运动方向也涉及切线。第三类是最大值和最小值问题。炮弹的最大射程如何求，行星运行时离开太阳的最远和最近距离如何求，都是17世纪迫切要解决的。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积和曲面围成的体积、物体的重心、引力等。这些问题在17世纪之前个别地解决过，但必须有较好的技巧，且方法缺乏一般性。
　　尝试解决这四类问题在牛顿、莱布尼茨之前已经有过不少经验，罗贝瓦尔(Roberval)从炮弹的水平速度与垂直速度构成矩形的对角线出发，认为这条对角线就是炮弹的轨迹切线。牛顿的老师巴罗(Barrow)，也给出了求切线的方法。17世纪开普勒(Kepler)证明了所有内接于球的，具有正方形底的正平行四面体中立方体的容积最大。当越来越接近最大体积时，相应尺寸的变化对体积的变化越来越小(就是我们现在所说的极值处的导数为0)。费马(Fermat)在1629年已经找到与现在求最大值和最小值的方法实质相同的方法。卡瓦列利(Cavalieri)在他老师伽利略(Galileo)和开普勒的影响下，并在他老师的敦促下，考查了微积分，并且获得n为正整数时的积分公式(1639年)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1634年罗贝瓦尔求出了旋轮线x=R(t-sint)，y=R(1-cost) 一个拱下的面积。他还求出了正弦曲线一个拱下的面积及它绕底旋转的体积。一些图形的重心也计算出来了。格利哥利(Gregory)在1647年算出了
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　以上都是一些具体的结果，在原则性的问题上，如微积分的主要特征——积分与微分互逆，也早为人们所遇到。托里拆利(Torricelli)通过特殊的例子看到了变化率问题本质上是面积问题的反问题。费马同样也在特殊的例子中知道了面积与导数的关系。格利哥利1668年证明了切线问题是面积问题的逆问题。巴罗也看到了这种关系，但他们不是没有看到其普遍意义或一般性，就是没引起重视和看到其重要性。17世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作被困拢在一些细节问题里，作用不大的细微末节的推理使数学家们精疲力竭了。
　　在微积分的大量知识已经积累起来的时代里，牛顿和莱布尼茨认识到了微分与积分这种互逆关系的重要性及普遍性，建立起成熟的方法，并且提出了前面叙述的几个主要问题之间的内在联系，从而创立了微积分。
　　但是，不论牛顿还是莱布尼茨，在创立微积分时都并未弄清楚微积分的逻辑基础。他们在论证自己的结论时，前后说法矛盾。牛顿举下面的例子来说明他的“流数”(即导数)的求法。
　　设给定了函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x³ - ax² + axy - y³ = 0，　　　　　　　　　　
给时间以无穷小增量，并用o表示，相应的x、y的无穷小增量用 、 乘o，即 、 表示。以 及 代 x、y 得
　　　　　　　　　　　
由假设x³ - ax² + axy - y³=0，消去这些项，全式除以o，然后舍去含o的项(因为o是无穷小)，便得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　从上述推导中，人们不难发现其中存在着逻辑上的矛盾。开始时o不能作为零来理解，因为不能用零除全式，以后又作为零把它略去。莱布尼茨在论证时也有类似的问题，因而不能不引起人们对微积分的批评和指责，这些人中最有名的要算主教贝克莱(Berkeley)和尼文太(Nieuwentijdt)。贝克莱是主教，他更多地从宗教的偏见出发批评微积分，他说牛顿的微积分中的无穷小是“已死量的幽灵”，微积分中的“原则、推理与论断不比宗教的教义说得更为清晰”，但他的指责并非无理。辩论进行了相当长的一段时期。到19世纪20年代，即1821年，数学家柯西(Cauchy)在他的《分析教程》以及此后的《无穷小计算讲义》中给出了微积分中一系列基本概念的严格定义，从而澄清了历史上微积分的逻辑基础。但是，在柯西时代，实数理论尚未完备，因而柯西的极限定义尚有不足之处，现在的极限定义是数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)加工完成的。

阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802—1829)

　阿贝尔生于挪威，家境贫困，是一个有着不幸遭遇的青年，他27岁就病死了。15岁时，他幸运地遇到了一位优秀教师洪保(Holmboe，1795—1850)在他耐心细致的教导下，使阿贝尔由对学业不感兴趣而变为对学数学有强烈的愿望。他16岁开始自学了许多名家的数学著作，19岁入大学，在数学上取得了很大的成就。

　　自从16世纪3，4次方程得到解决之后，5次以上方程自然被提到日程上来了，但200多年的努力都落空了。1799年数学家鲁非尼证明了一般5次以上的方程不能用根式求解，但他的证明并不十分严格。阿贝尔严格地证明了一般5次方程不可能用根式求解，开辟了近世代数方程论的道路，包括群论和方程的超越函数解法。阿贝尔关于5次方程不可解性的论文在1824年以小册子的形式刊行，他曾将该论文寄给过数学家高斯，但未引起高斯的注意。1826年克列尔(Crelle)创办了“克列尔杂志”，头三卷发表了阿贝尔的22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的开创性文章，这使得欧洲大陆开始注意阿贝尔的工作。阿贝尔出色的工作使“克列尔杂志”获得了永恒的声誉。在这之前，他在欧洲大陆拜访过好几位有名望的数学家和天文学家，但都没有得到应有的重视。 

　　阿贝尔在欧洲大陆上没有探求到一个合适的职位，经济的拮据使他在1826年回到了挪威。一年半之后，他在贫病交迫中死去。死后两天，克列尔来信通知他，他已被柏林大学任命为教授。克列尔是阿贝尔一生中第二个对他的事业有极大帮助的人。

　　1826年阿贝尔写了一篇关于积分的重要论文，这篇论文包括了阿贝尔的大定理。当年10月30日送到巴黎科学院，当时科学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德(Legendre)和柯西对论文作出评价，后者是主要负责人。这篇论文很长并且很难，它包含了许多新的概念，柯西把它放在一边，没有理采，勒让德也把它忘了。阿贝尔去世以后，当他已经有了名望时，科学院寻找出这篇论文。这篇重要论文直到1841年才发表。

傅里叶(Joseph Fouries，1768—1830)

傅里叶年青时已是一位很出色的数学学者，但他专致于当一个军官，然而却因他是一个裁缝的儿子而被拒绝入伍。以后他当上了一个军事学院的教授，从此数学就成了他终生的爱好。他致力于热流动研究，1807年，他向巴黎科学院呈交了一篇关于热传导的基本论文。这篇论文经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三位数学家的评审，被拒绝了，但科学院确想鼓励傅里叶发展他的思想，所以把热传导问题定为将于1812年授予高额奖金的问题。1811年傅里叶呈交了修改过的论文，受到上述诸人和另外一些人的评审，得到了资金，但此论文却受到不公正的待遇，未在科学院的“报告”里发表。他很愤恨，继续对热传导进行研究，1822年发表了数学的经典文献之一“热的解析理论”，其中编入了他实际上未作改动的1811年论文的一部分，此书概括了他的主要思想。两年后，他成为科学院的秘书，于是能够把他1811年的论文原封不动地发表在“报告”里。  

　　他根据物理原理，对于均匀的和各向同性的物体内温度T = T(x, y, z, t)，证明了T必须满足偏微分方程，其中，k2是一个常数，称为三维的热传导方程，并且他解决了特殊的热传导—— 一维的问题

附以边界条件

　　　　　　　　　　　　　　　T (0, t) = 0，T ( l, t ) = 0，t > 0

和初始条件

　　　　　　　　　　　　　　　T ( x, 0 ) = f ( x )，0 < x < l

他用分离变量法，得出了　　　　　　　　　　　　

进而他大胆和富于创造性地，却不十分严密地得到了 l = π 时的bv

这个结果早为欧拉所得到，且比傅里叶所用的方法简单很多。但傅里叶作了一些值得注意的观察，他说 f(x) 不必连续，或者只要从图形上知道就可以了。所以傅里叶说，每一个函数都可以表示为

　　他的这个意见被18世纪的名家(除丹尼尔 × 伯努利外)否定了，但他坚信自己，他选取了大量函数，对每一个函数算出头几个bv 值，并作出其和的图形，从而他得出结论说，不管在区间0 < x < π外怎样，这个级数在 0 < x < π 上总表示为 f(x) 。但傅里叶从未给出过证明，当然也没有说出一个函数可以展开为傅氏级数必须满足的条件。

              魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815—1897)
　　魏氏生于德国西部一个小村，曾入波恩大学学商业和法律，但坚持自学数学，他曾得到过数学家古德曼(Gudermann)的指点(古德曼以研究椭圆函数及古德曼函数著称)。
　　1839年以后，魏尔斯特拉斯成为一个中学教师。在一些小城镇任教，除教数学、物理之外，还教德语、作文、地理。1845年以后还教体育，他白天有繁重的教学任务，只好利用晚间，废寝忘食地钻研数学。1860年左右，为了得到他的教员证明书，他研究了古德曼给他指定的一个问题，即把椭圆函数表示成为幂级数的商，他证明了这一点。1864年他成为柏林大学教授，那时已49岁。
　　19世纪20年代几乎所有数学家鉴于物理实验及直观都认为一条连续曲线除了可能在某些孤立点外，必定具有切线，由此得出结论除个别点外连续函数一定可导。魏氏认为凭经验或直观得出来的结论是不可靠的，1872年他在柏林科学院的一次讲演中，他给出了处处不可导的连续函数的例子，这函数是
　　　　　　　　　　　　　　　　
其中， a 是一个奇整数，b是小于1的正的常数且 。这个例子其历史意义是巨大的，它促使数学家分析问题不能只信赖直观，须作严密的思考。他的实数理论就是不满意建立在几何基础上的柯西的理论而构造的。
　　级数的一致收敛概念在1842年以前并未被绝大多数的数学家所认识。柯西曾错误地证明了一个收敛级数各项都连续的和函数一定连续。1826年阿贝尔指出了柯西的错误，然后他用一致收敛纠正了柯西的错误证明，但他没有形成一致收敛概念。1842年魏氏建立了一致收敛概念，并通过魏氏的学生，人们知道了一致收敛的重要性。
　　魏氏用递增有界数列来定义无理数，避免了像柯西那样用极限来定义无理数，改正了柯西对极限概念的一些细小的逻辑缺陷。
　　魏氏在幂级数的基础上建立起解析函数的理论，并建立起解析开拓的方法。他的幂级数的技巧是从他的老师古德曼那里学来的。